シラバス
※学期中に内容が変更になることがあります。

2020年度


16016501-005 

△数学2-5 (微分方程式入門)
Mathematics 2-5 -Introduction to Ordinary Differential Equations-
2単位/Unit  秋学期/Fall  京田辺/Kyotanabe  講義/Lecture

  根岸 章

<概要/Course Content Summary>

内容:微分方程式は,自然科学のみならず社会科学や人文科学においても,現象を数理化した際の基礎方程式として現れてくる。この講義では,微分方程式に対する理解を深め,基礎的な微分方程式の解法を知り,いくつかのモデルを検証しながらその解の意味を考えていく。さらに,大学初年次で学習する微積分と線形代数の応用としての定数係数線形微分方程式の解法とその意味を学ぶ。 
キーワード:常微分方程式の解の存在,線形微分方程式,演算子法 
授業の進め方:講義形式で進める。テキストの他にプリントを配布する。理解度の確認のための簡単な問題演習を毎回行うとともに宿題を課す。毎回の課題や宿題については,途中計算も含めた解答を配布するので,板書のノートテイキングができなくても授業後の復習は可能である。

<到達目標/Goals,Aims>

定積分で解ける1階微分方程式の様々な種類を理解し,具体的な問題を解くことができる。演算子法を用いた定数係数線形微分方程式の解法を理解し,具体的な問題を解くことができる。 

<授業計画/Schedule>

(実施回/
Week)
(内容/
Contents)
(授業時間外の学習/
Assignments)
(実施回/ Week) (内容/ Contents) 微分方程式とは 
微分方程式とその解の意味を理解する。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 宿題として配布された問題演習をする。重要な概念の復習をする。 
(実施回/ Week) (内容/ Contents) 変数分離形と同次形微分方程式 
変数分離形微分方程式,同次形微分方程式を解く。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 授業で扱った微分方程式の方の特徴を理解する。宿題として配布された問題演習をする。。 
(実施回/ Week) (内容/ Contents) 1階線形微分方程式 
1階線形微分方程式,ベルヌーイの微分方程式を解く。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 授業で扱った微分方程式の方の特徴を理解する。宿題として配布された問題演習をする。 
(実施回/ Week) (内容/ Contents) 完全微分方程式 
完全微分方程式を解く。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 授業で扱った微分方程式の方の特徴を理解する。宿題として配布された問題演習をする。 
(実施回/ Week) (内容/ Contents) 積分因子 
積分因子を持つ1回微分方程式を解く。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 授業で扱った微分方程式の方の特徴を理解する。宿題として配布された問題演習をする。 
(実施回/ Week) (内容/ Contents) 1階微分方程式の応用 
1階微分方程式の数学モデルを考える。 
(授業時間外の学習/ Assignments) これまでに扱った微分方程式の各種の特徴を理解し,授業中の課題や宿題の問題の総復習を行う。 
(実施回/ Week) (内容/ Contents) Cauchyの折線法 
1階常微分方程式の解の存在を考える。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 宿題として配布された問題演習をする。重要な概念の復習をする。 
(実施回/ Week) (内容/ Contents) 中間まとめテストとその解説  (授業時間外の学習/ Assignments) 中間まとめテストで間違えた問題を中心に復習行う。線形代数の連立方程式や線形写像の部分の復習を行う。 
(実施回/ Week) (内容/ Contents) 線形微分方程式 
線形微分方程式の1次独立の概念を理解する。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 宿題として配布された問題演習をする。重要な概念の復習をする。 
(実施回/ Week) 10  (内容/ Contents) 微分演算子 
微分演算子を使った同次形微分方程式の解法を理解する。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 宿題として配布された問題演習をする。重要な概念の復習をする。 
(実施回/ Week) 11  (内容/ Contents) 逆演算子 
微分演算子の逆演算子の考え方を理解する。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 宿題として配布された問題演習をする。重要な概念の復習をする。 
(実施回/ Week) 12  (内容/ Contents) 定数係数線形微分方程式 
定数係数線形微分方程式の解法を理解する。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 宿題として配布された問題演習をする。重要な概念の復習をする。 
(実施回/ Week) 13  (内容/ Contents) 連立微分方程式 
微分演算子を利用した1階連立微分方程式の解法を理解する。1階連立微分方程式と高階方程式の関係を考える。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 宿題として配布された問題演習をする。重要な概念の復習をする。 
(実施回/ Week) 14  (内容/ Contents) 定数係数線形微分方程式の応用 
定数係数線形微分方程式の数学モデルを考える。 
(授業時間外の学習/ Assignments) 演算子法を用いた定数係数線形微分方程式の解法の復習を行う。 
(実施回/ Week) 15  (内容/ Contents) 最終まとめテストとその解説  (授業時間外の学習/ Assignments) まとめテストで間違えた問題を中心に復習行う。 

1変数関数の微積分(高校の数Ⅲ程度)は,必須の知識となります。受講生は復習しておいてください。また,行列やベクトルについても知識が必要となります。学習用のプリントを配布しますが,線形代数などを修得している場合は復習しておいてください。 
宿題は,授業終了時に全員に問題を指定し,次回解答を板書してもらいます。 

<成績評価基準/Evaluation Criteria>

問題演習  30%  指定された問題に正解する 
中間まとめテスト  30%  与えられた問題から型を見抜く 
最終まとめテスト  40%  演算子・逆演算子が活用できる 

テストは,微分方程式の具体的な問題を解くことができるかを見ます。完全解答が望ましいですが,微分方程式の方が理解でき,適切な解法が選べているかどうかも評価のポイントとなります。 
ペーパー試験にハンディキャップがある受講生の場合は,適切な評価方法について受講生と相談の上決定します。 
中間まとめテスト,および最終まとめテストはe-classのシステムを利用して実施する場合があります。

<テキスト/Textbook>

矢野健太郎,石原繁  『基礎解析学』改訂版  (裳華房、1993年) 生協  ISBN:9784785310790  テキストは4部構成ですが,そのうちの第1部を使います。 

 

<参考文献/Reference Book>

吉田耕作  『微分方程式の解法』第2版 (岩波書店、1978年)ISBN:9784000215541 Cauchyの折線法が詳しく載っています。後半は2階偏微分方程式まで記述されています。 
 

デヴィッド・バージェス,モラグ・ボリー著垣田髙夫,大町比佐栄訳  『微分方程式で数学モデルを作ろう』第1版 (日本評論社、1990年)ISBN:9784535781733 微分方程式に関連したたくさんの数学モデルの例が載っています。 
 

内藤敏機  『数学のかんどころ10 常微分方程式』初版 (共立出版、2012年)ISBN:9784320019904 授業で扱う内容と多くの部分で重なっていて,練習問題も豊富です。 
 

 

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